Viele bewährte Kundenprodukte auf der Aktiv- und der Passivseite beinhalten implizite Optionsrechte, wie Tilgungs- und Abhebungsrechte mit unterschiedlichster Ausgestaltung. Die marktgerechte Konditionierung dieser Rechte kann in der Vorkalkulation mit Hilfe von gängigen Optionspreismodellen erfolgen und stellt schon seit längerem kein prinzipielles Problem mehr dar. Nach Berücksichtigung der Optionsprämien in den Konditionen für den Marktbereich hat die Ausübung seitens des Kunden bis zum erwarteten Rationalitätsgrad auf den Marktbereich keinen Einfluss mehr. Der Rationalitätsgrad gibt dabei den Anteil der Kunden an, von denen erwartet wird, dass sie sich zinssensitiv und damit im finanzmathematischen Sinne rational verhalten.
Mögliche Schäden, die durch die Ausübung der Rechte bis zum erwarteten Rationalitätsgrad entstehen können, sind ausschließlich durch das Treasury abzusichern. In der Steuerung von Optionsrechten kann das Treasury zum einen das Ziel verfolgen, aktiv auf Zinsentwicklungen mittels bewusst eingegangener Optionspositionen zu setzen. Andererseits kann das Treasury auch ein möglichst geringes Risiko in solchen Positionen anstreben. Da jedoch die Optionsrechte aus den Kundengeschäften bereits vorhanden sind, sollte das Treasury im zweiten Fall versuchen, Gegengeschäfte zu den Optionen aus den Kundenprodukten zu tätigen, um sich somit gegen das mit den Kundenoptionen verbundene Risiko abzusichern.
Zinsszenarien
Zur Messung des Risikos aus impliziten Optionen werden die einzelnen Kundenprodukte in den zugehörigen Cashflow und in die enthaltenen Optionsrechte aufgeteilt. In der Grafik ist die bisher übliche Vorgehensweise im grauen Kasten schematisch dargestellt. Durch Summierung werden die einzelnen Cashflows zu einem Summen-Cashflow aggregiert. Auf der Seite der Optionsrechte werden die einzelnen Optionsrechte zu einem Optionsbuch zusammengefasst. Zur Risikoberechnung des Value at Risk (VaR) der Kundenprodukte wird beides unter Zinsszenarien simuliert und das zugehörige Chancen-/Risikoprofil statistisch ausgewertet.
Je nach Kundenprodukt können im Optionsbuch 10.000 bis 50.000 verschiedene Rechte geführt werden, wobei das Volumen einer einzelnen Option meistens sehr gering ist. Obwohl die bisherige Vorgehensweise zwar zielführend ist, erweist sie sich aufgrund umfangreicher Optionsbücher als sehr rechenaufwändig. Beispielsweise kann eine Simulation von 1.000 Optionsrechten auf einem typischen Arbeitsplatzrechner bereits mehrere Stunden benötigen. Neben der Herausforderung durch die insgesamt große Anzahl von Kundenrechten kann auch die Ausgestaltung einiger Optionen derart komplex sein, dass eine Bewertung mit einfachen Modellen nicht mehr möglich ist. Darüber hinaus lassen sich aus den reinen Kundenoptionen keine unmittelbaren Hedge-Maßnahmen für die Risikosteuerung ableiten, da eine Abbildung der individuellen Kundenoptionen auf standardisierte Optionen fehlt.
Beispiel
Um die beschriebene Problematik zu verdeutlichen, wird folgendes Beispiel untersucht: Auf der Aktivseite einer Beispielbank befinden sich 1.100 Kredite mit gesetzlichem Kündigungsrecht und einem Gesamtvolumen von 100 Millionen Euro. Die erste Kündigungsmöglichkeit variiert von heute bis in zehn Jahren. Auf der Passivseite befinden sich 300 Tranchen eines Sparproduktes mit Zinsstaffel und jährlichem Kündigungsrecht mit einem Gesamtvolumen von 900 Millionen Euro. Im Optionsbuch befinden sich insgesamt 1.400 Zinsoptionen mit mehrfachem Ausübungsrecht seitens der Kunden, wobei nur der Teil der impliziten Optionen, bei dem von einem zinssensitiven Verhalten der Kunden ausgegangen wird, im Optionsbuch abgebildet ist.
Für die Berechnung des Value at Risk werden die Optionen in der modernen historischen Simulation mit dem Zinsstrukturmodell von Black-Derman-Toy bewertet. Die Haltedauer beträgt drei Monate. Der Betrachtungszeitraum umfasst Marktdaten von 1988 bis 2008. Nach einer Rechenzeit von rund acht Stunden ergibt sich für das Optionsbuch ein Barwert in Höhe von minus 13 Millionen Euro und ein VaR zum Konfidenzniveau von 99 Prozent in Höhe von 119 Prozent beziehungsweise 15,6 Millionen Euro.
Da das Optionsbuch eine Schuldenposition darstellt, bedeutet der Barwert, dass die Bank theoretisch 13 Millionen Euro aufwenden müsste, um die entsprechenden Gegenpositionen am Interbankenmarkt zu kaufen, was jedoch aufgrund der individuellen Ausstattung und der kleinen Tranchen am Markt nicht möglich ist.
Summation von Optionsrechten?
Zur Performanceverbesserung in der Risikomessung und für die Herleitung geeigneter Hedginginstrumente sollte ein Mechanismus zur Zusammenfassung des Optionsbuchs vorgeschaltet werden, der den gleichen Zweck verfolgt wie die Bildung des Summen-Cashflows. Bei den Optionsrechten kann dies jedoch nicht durch eine einfache Addition erfolgen, da sich die Kundenoptionen hinsichtlich Laufzeit, Restlaufzeit des Underlyings, Ausübeschwellen, Ausübungspreisen sowie des zugrunde liegenden Optionstyps (europäisch, amerikanisch) unterscheiden. Daher wird eine andere Art der Aggregation – ein sogenanntes Optionsmapping – im vorliegenden Beitrag vorgestellt, bei der ein modifiziertes „gemapptes“ Optionsbuch berechnet wird. Diese Schritte sind im grünen Kasten auf der linken Seite im Schema der Grafik dargestellt.
Mapping durch Nachbildung von Risikoprofilen
Die Idee des Optionsmappings besteht darin, das Optionsbuch als ein strukturiertes Produkt aufzufassen und dazu wie im Financial Engineering expliziter Optionen vorzugehen: dem Nachbau des Verfalltagprofils durch Standardoptionen. Anhand identischer Verfalltagprofile kann nämlich die Aussage getroffen werden, dass diese Optionen immer denselben Preis haben. Ein einziges Verfalltagprofil ist in diesem Fall problematisch, da Einzeloptionen mit den unterschiedlichsten Laufzeiten enthalten sind, so dass mehrere Profile zu verschiedenen Zeitpunkten kombiniert werden müssen.
Als wesentliche Eigenschaften des modifizierten Optionsbuchs muss der neue Barwert dem Barwert des Ausgangsbuches entsprechen und das Risikoprofil beider Bücher übereinstimmen. Als weitere wünschenswerte Eigenschaft sollten möglichst Standardoptionen (hier Swaptions) gewählt werden, um in der Risikosteuerung die notwendigen Hedge-Maßnahmen unmittelbar umsetzen zu können. Des Weiteren sollte das gemappte Optionsbuch aus Effizienzgründen aus möglichst wenigen Optionen bestehen, wobei eine größere Anzahl die Genauigkeit des Mappings erhöht. Folgende Freiheitsgrade bei der Wahl der Ausstattungsmerkmale der Swaptions bestimmen letztendlich die Anzahl der Mappinginstrumente:
Optionslaufzeit,
Restlaufzeit des Underlyings nach Verfalltag der Swaption,
Ausübungspreis (Strike),
Optionstyp (Payer- oder Receiverswaption).
In dem konkreten Beispielsfall werden diese Ausstattungsmerkmale so gewählt, dass sich insgesamt 84 verschiedene Swaptions als mögliche Mappinginstrumente ergeben.
Durchführung des Mappings und Risikosimulation
Da sich das Risikoprofil des gehaltenen Optionsbuchs mit den zur Verfügung stehenden Mappinginstrumenten nicht zu 100 Prozent exakt nachbilden lässt, werden die mit der Eintrittswahrscheinlichkeit der Zinsszenarien gewichteten Abweichungen vom echten Risikoprofil minimiert. Das Ergebnis der Minimierung sind die optimalen Volumina der Swaptions.
Nach erfolgtem Mapping kann die Berechnung des VaR durch die historische Simulation der Standardoptionen, im Beispiel der 84 Swaptions innerhalb von rund acht Minuten, erfolgen. Wird die Rechenzeit für das Mapping in Höhe von ebenfalls acht Minuten berücksichtigt, benötigt die komplette Risikoberechnung insgesamt rund eine Viertelstunde, was gegenüber acht Stunden Rechenzeit für das ungemappte Optionsbuch einen erheblichen Zeitgewinn bedeutet.
In der Tabelle sind Barwert und VaR des gehaltenen und des gemappten Optionsbuchs vergleichend gegenübergestellt. Da die Abweichungen auf Kennzahlenebene minimal und im Vergleich zu allgemeinen Modellrisiken quasi vernachlässigbar sind, kann die Genauigkeit der Ergebnisse als sehr hoch bezeichnet werden.
Zur Beurteilung der Güte des Mappingverfahrens kann ein Vergleich der Risikokennzahlen eine erste Aussage liefern, eine isolierte Betrachtung der Kennzahlen allein reicht jedoch nicht aus. Denkbar ist beispielsweise, dass die großen Verluste jeweils in der Höhe übereinstimmen, aber bei völlig unterschiedlichen Zinsänderungen eintreten, was für einen tatsächlich abgeschlossenen Hedge fatale Folgen hätte.
Güte des Mappings
Ein besseres Verständnis liefert der Vergleich der Chancen-/Risikoprofile, die in der Grafik gegenübergestellt werden. Jede Wertänderung im Profil wird durch ein historisches Marktdatenszenario erzeugt, zu dem auch die Wertänderung der gemappten Position berechnet wird. Das Profil der gemappten Position schwankt zwar relativ unsystematisch um das tatsächliche Profil, weist dabei jedoch nur eine geringe Breite auf. Die gemappte Position unterliegt folglich unabhängig vom betrachteten historischen Szenario innerhalb der letzten 20 Jahre nahezu dem gleichen Risiko wie das gehaltene Optionsbuch.
Fazit und Ausblick
Die Analyse über die Chancen-/ Risikoprofile hat gezeigt, dass das vorgestellte Mappingverfahren als Analogon zum Summenzahlungsstrom auf Cashflow-Ebene alle wesentlichen Eigenschaften für eine geeignete Approximation der impliziten Kundenoptionen erfüllt. Selbst bei extremen Änderungen der Zinsstruktur liefert das Mapping auf Swaptions sehr gute Ergebnisse. Neben einem erheblichen Zeitgewinn in der Risikosimulation kann die große Anzahl vieler kleiner Optionsrechte auf handelbare Abschnittsgrößen reduziert werden, was optimale Voraussetzungen für Hedge-Maßnahmen mit marktgängigen Optionen bietet.
Eine weitere Einsatzmöglichkeit für das Mappingverfahren bietet die Integration von exotischen Zinsoptionen in die Risikomessung, wenn die Rechte für die eingesetzten Modelle zu komplex sind. Auch in diesem Fall können die Swaptions aus dem Mappingverfahren im Risikomessmodell verwendet werden. Die Einsatzmöglichkeiten für das Mappingverfahren sind sehr vielseitig und lassen Raum für weitere Analysen.
Zu diesem Fachbeitrag gibt es eine Langversion im Internet unter www.geldinstitute.de in der Rubrik "Fachbeiträge".